Урок 4. Треугольник Серпинского: фрактал из десяти вентилей

После этого урока на экране появится настоящий фрактал — треугольник Серпинского: большой треугольник из трёх таких же, каждый из них — из трёх ещё меньших, и так до отдельной точки. А логики для него — шесть AND и дерево OR.

4.1. Идея: ни одного общего разряда

Точка (x, y) горит, если у x и y нет ни одного общего разряда с единицей: (x AND y) = 0.

Почему получается треугольник? Посмотри на старший разряд. Если он 1 у x — точка в правой половине, у y — в нижней. Обе единицы сразу запрещены, поэтому правый нижний квадрат пустой, а в трёх остальных — то же правило для пяти младших разрядов, то есть та же картинка вдвое меньше. И так шесть раз.

Тот же узор даёт треугольник Паскаля, если закрасить в нём нечётные числа, — так его и находили задолго до компьютеров.

4.2. Сборка

Тот же проект, что урок 3: развёртка, два CNT6 и экран остаются. Меняется только узор — логика, которая решает, гореть ли точке (x, y).

Идея. Точка горит, если у x и y нет ни одного общего разряда с единицей: (x AND y) = 0.

Из этого простого правила вырастает треугольник Серпинского: большой треугольник состоит из трёх таких же, только вдвое меньше, а каждый из них — ещё из трёх… На экране 64 × 64 таких ступеней шесть — по числу разрядов, и горит 3⁶ = 729 точек. Тот же узор даёт треугольник Паскаля, если закрасить в нём нечётные числа.

Как это собрать: 6 AND — по одному на разряд, «единица в этом разряде у обоих». Если хоть один AND горит, точка гаснет: все шесть собираем деревом OR, а последним ставим NOR — он сразу и собирает, и переворачивает.

Шаг 1. Убрать старый узор

У метки pix должен остаться один источник — новый NOR. Два источника на одной метке — замыкание.

Шаг 2. Узор Серпинского

4.3. Проверка

Если треугольник «рваный» или в нём лишние точки — проверь пары у AND: в каждом AND разряды x и y одного номера. Если экран весь тёмный — проверь, что XOR (узор) удалён, а pix выходит из NOR.

Вставка урока 4 (Cmd+I)

Перед вставкой удали XOR (узор), выход которого = pix: у pix должен остаться один источник.

# Урок 4 — треугольник Серпинского: точка горит, если (x AND y) = 0 — ни в одном разряде нет двух единиц сразу.# Вставка: Cmd+I поверх урока 3. Перед вставкой удали XOR (узор), выход которого = pix: у pix должен остаться один источник. # --- 6 AND: единица в одном разряде x и y сразу ---AND(x0, y0, a0)AND(x1, y1, a1)AND(x2, y2, a2)AND(x3, y3, a3)AND(x4, y4, a4)AND(x5, y5, a5)# --- хоть одна такая пара — точка не горит: OR деревом, в конце NOR ---OR(a0, a1, o01)OR(a2, a3, o23)OR(a4, a5, o45)OR(o01, o23, o03)NOR(o03, o45, pix)